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一道概率题的探究和推广_李非

2017年11月17日 02:40 李非 点击:[]

摘 要本文对一道概率题进行探究,对教材的解法加以修正,对结论进行了推广,提出了一般情形的猜想,并证明了这一猜想.

关键词概率,对称性,二项分布,双重求和

The Study and Generalization of a Probabilistic Question

Li Fei

(Xuzhou Vocational Technology Academy of Finance & Economy, Xuzhou 221008)

Abstract:In this essay, we studied a probabilistic question, in which we correct the solution to the teaching material. Furthermore, we generalized the conclusion and introduce a conjecture which we proved afterward.

Keywords:Probability, Symmetry, Binomial distribution, Double summation

[1]例1.10甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷n+1次,乙掷n次.求“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”这一事件的概率.

(巧妙运用“对称性”解题,避免冗长计算)令

=甲掷出正面的次数,甲=甲掷出反面的次数,

=乙掷出正面的次数,乙=乙掷出反面的次数,

于是所求事件的概率为P(甲>乙),另一方面显然有

-(甲>乙)=(甲

)=(甲>乙),因为硬币是均匀的,由对称性知P(甲>乙)=P(甲>乙),由此即得P(甲>乙)=

一、上述解法的疑问

在教学过程中,常有学生对此题的解法产生疑问:条件“甲掷n+1次,乙掷n次”似乎未用到,所求概率是否与此条件无关呢?当甲掷币的次数远远大于乙掷币的次数时,所求概率还会是此题的结果吗?

不难发现,上述解法的关键点在于

(甲

)=(甲>乙) (1)

对此不宜用“显然”二字轻轻带过,理应论证一番.进一步考察后大家得知,当甲比乙仅多掷一次时,(1)是成立的;而当甲掷更多次时,(1)就不再成立了.这说明,条件“甲掷n+1次,乙掷n次”在确定所求概率时是必不可少的.

对上述关键点,大家给出以下论证.

二、关键点的论证

设甲掷出正面的次数为

,乙掷出正面的次数为

,则

(甲>乙)=

(甲>乙)=

下面论证(甲

)=(甲>乙),即

时,有

,注意到

都是整数,必有

;反之,

时,有

,注意到

都是整数,必有

.总之,

所以

(2)

因为硬币是均匀的,由对称性,有P(甲>乙)=P(甲>乙),即

(3)

由(2)、(3)可得

三、推广到一般情形的猜想

甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷n+1次,乙掷n次,则“甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数”的概率等于

.这个结论如何推广到一般情形?一般地,甲掷n+m次,乙掷n次,

,上述概率还等于

吗?由直觉,此概率似乎应该大于

,且m越大,此概率越大.

下面来证明这一推广.

四、推广到一般情形的证明

甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷n+m次,乙掷n次,

.设甲掷出正面的次数为

,乙掷出正面的次数为

,则

,所求概率为

其中

在右端第二项中,令

,则

,得

在右端第二项中,再令

,则

,得

再将

分别改写为

,得

(4)

注意到

,(4)中

项,其值为正数,从而

不难证明,

越大时

也越大(证明从略),所以

越大时,

就越接近于1.

顺便提及:

时,(4)中不含

项,

恰为

参考文献

[1]《概率论与数理统计教程》,魏宗舒等编,高等教育出版社出版.

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